势函数属于 Sobolev 空间 $W_2^{-1}[0,\pi]$ 的 Sturm--Liouville 算子的单收敛定理

我们考虑空间 $L_2[0,\pi]$ 中的 Sturm--Liouville 算子 $Ly=-y''+q(x)y$，其势函数来自 Sobolev 空间 $W_2^{-1}[0,\pi]$。此外，假设 $q=u'$，其中 $u\in L_2[0,\pi]$。我们考虑 Dirichlet 边界条件 $y(0)=y(\pi)=0$，尽管也可以处理 Sturm 型边界条件。已知此类算子具有离散谱，且唯一的聚点为 $+\infty$，其特征函数与伴生函数系 $\{y_k\}_1^\infty$ 构成 $L_2[0,\pi]$ 中的 Riesz 基。此外，该基是基 $\{\sin(kx)\}_1^\infty$ 的 Hilbert--Schmidt 扰动。本文证明了单收敛定理：对于任意元素 $f\in L_2[0,\pi]$，当 $n\to\infty$ 时，序列 $P_nf-S_nf\to0$ 在 $C[0,\pi]$ 中成立（此处 $P_n$ 和 $S_n$ 分别是到 $\{y_k\}_1^n$ 和 $\{\sin(kt)\}_1^n$ 的 Riesz 投影算子）。