二维度量 Sturm-Liouville 理论

Sturm-Liouville 理论（亦称 Sturm-Hurwitz 定理）的一个核心结果指出，若 $\phi_k$ 是区间 $I \subset \mathbb{R}$ 上二阶微分算子的特征函数序列，则任意线性组合满足根的统一界 $$\# \left\{x \in I:\sum_{k \geq n}{ a_k \phi_k(x)} = 0 \right\} \geq n-1.$$ 我们给出其到二维的尖锐（至多差对数因子）推广：设 $(M,g)$ 为紧致二维流形（有或没有边界），设 $(\phi_k)$ 表示一致椭圆算子 $-\mbox{div}(a(\cdot) \nabla)$（具 Dirichlet 或 Neumann 边界条件）的特征函数序列。则对于任意高于某指标 $n$ 的特征函数的线性组合，$$f = \sum_{k \geq n}{a_k \phi_k} ~ \mbox{我们有} \quad \mathcal{H}^1 \left\{ x: f(x) = 0\right\} \gtrsim_{} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\log{n}}} \log \left(n \frac{\|f\|_{L^2(M)}}{\|f\|_{L^1(M)}} \right)^{-1/2} \frac{\|f\|_{L^1(M)}}{\| f \|_{L^{\infty}(M)}} .$$ 在 $M=\mathbb{T}^2$ 和 $M=\mathbb{S}^2$ 上的例子表明这至多差对数因子是最优的。证明使用了最优传输和关于 Wasserstein 度量 $W_p$ 的一个新不等式：若 $f(x)dx$ 和 $g(x)dx$ 是二维区域 $M$ 上具连续密度和相同总质量的两种绝对连续测度，则对所有 $1 \leq p <\infty$，$$W_p(f(x)dx, g(x) dx) \cdot \mathcal{H}^1 \left\{x \in M: f(x) = g(x) \right\} \gtrsim_{M,p} \frac{\|f-g\|_{L^1(M)}^{1+1/p}}{\|f-g\|_{L^{\infty}(M)}}.$$