通过扰动理论处理Sturm--Liouville算子的奇异边界条件

我们证明,具有一般极限圆端点(一个或多个)的半有界Sturm--Liouville算子的所有自伴扩张,均可通过秩等于亏指标的加性奇异形式有界自伴扰动获得,设$d\in\{1,2\}$。该刻画推广了关于具有正则端点的半有界Sturm--Liouville算子的熟知类比。明确地说,极小算子的每个自伴扩张可写为\begin{align*} \boldsymbol{A}_\Theta=\boldsymbol{A}_0+{\bf B}\Theta{\bf B}^*, \end{align*}其中$\boldsymbol{A}_0$是一个特殊的自伴扩张,$\Theta$是$\mathbb{C}^d$中的自伴线性关系。该扰动是奇异的,在于它不属于底层Hilbert空间,但相对于$\boldsymbol{A}_0$是形式有界的,即它属于$\mathcal{H}_{-1}(\boldsymbol{A}_0)$。为对称算子构造边界三元组与相容边界对,确保该扰动良定义且自伴扩张与自伴关系$\Theta$一一对应。作为例子,获得了经典对称Jacobi微分方程(具有两个极限圆端点)的自伴扩张,并利用边界三元组理论与扰动理论的工具分析了其谱。