关于奇异 Sturm-Liouville 算子的本质自伴性

考虑形如 $$\tau_{\alpha} = -(d/dx)x^{\alpha}(d/dx) + q(x), \quad x \in (0,b), \; \alpha \in \mathbb{R},$$ 的奇异 Sturm--Liouville 微分表达式，我们采用 Kurss 式的若干 Sturm 比较型结果，导出 $\tau_{\alpha}$ 在 $x=0$ 处为极限点与极限圆情形的判据。更确切地说，若 $\alpha \in \mathbb{R}$ 且对充分小的 $0 < x$， $$q(x) \geq [(3/4)-(\alpha/2)]x^{\alpha-2},$$ 或者，若 $\alpha\in (-\infty,2)$ 且存在 $N\in\mathbb{N}$ 与 $\varepsilon>0$，使得对充分小的 $0<x$， \begin{align*} &q(x)\geq[(3/4)-(\alpha/2)]x^{\alpha-2} - (1/2) (2 - \alpha) x^{\alpha-2} \sum_{j=1}^{N}\prod_{\ell=1}^{j}[\ln_{\ell}(x)]^{-1} \\ &\quad\quad\quad +[(3/4)+\varepsilon] x^{\alpha-2}[\ln_{1}(x)]^{-2}. \end{align*} 则 $\tau_{\alpha}$ 为非振荡的且在 $x=0$ 处为极限点情形。此处对充分小的 $0 < x$，迭代对数为如下形式： $$\ln_1(x) = |\ln(x)| = \ln(1/x), \quad \ln_{j+1}(x) = \ln(\ln_j(x)), \quad j \in \mathbb{N}.$$ 我们导出了关于 $\tau_{\alpha}$ 在 $x=0$ 处为极限圆情形的类似结果。我们还讨论了对形如 $$- {\rm div} |x|^{\alpha} \nabla + q(|x|), \quad \alpha \in \mathbb{R}, \; x \in B_n(0;R)\backslash\{0\},$$ 的偏微分表达式的多维应用，其中 $B_n(0;R)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中中心在 $x=0$、半径为 $R \in (0, \infty)$ 的开球，$n\in \mathbb{N}$，$n \geq 2$。