关于有下界奇异 Sturm-Liouville 算子的自伴边界条件

我们将与微分表达式 $\tau = r(x)^{-1}[-(d/dx)p(x)(d/dx) + q(x)]$（对几乎处处的 $x\in[a,b] \subset \mathbb{R}$）相关的正则 Sturm-Liouville 算子的经典边界值 \begin{align*} & g(a) = - W(u_{a}(\lambda_0,.), g)(a) = \lim_{x \downarrow a} \frac{g(x)}{\hat u_{a}(\lambda_0,x)}, \\ &g^{[1]}(a) = (p g')(a) = W(\hat u_{a}(\lambda_0,.), g)(a) = \lim_{x \downarrow a} \frac{g(x) - g(a) \hat u_{a}(\lambda_0,x)}{u_{a}(\lambda_0,x)} \end{align*} 推广到 $\tau$ 在 $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ 上奇异且关联极小算子 $T_{min}$ 有下界的情形。此处 $u_a(\lambda_0, \cdot)$ 和 $\hat u_a(\lambda_0, \cdot)$ 分别表示对适当 $\lambda_0 \in \mathbb{R}$ 的方程 $\tau u = \lambda_0 u$ 的适当归一化主解和非主解。我们简要讨论了奇异 Weyl-Titchmarsh-Kodaira $m$-函数，最后通过 Bessel、Legendre 和 Kummer（即 Laguerre）算子的例子较为详细地说明了该理论。