边界条件中含谱参数与物理参数的非自伴 Sturm-Liouville 问题

我们对如下两点边值问题的谱与特征函数给出了完整描述：$$(p(x)f')'-(q(x)-\lambda r(x))f=0\;, \;\; 0<x<L \quad ; \quad f'(0)=(\alpha_{1} \lambda + \alpha_{2}) f(0) \quad ; \quad f'(L)=(\beta_{1}\lambda -\beta_{2})f(L),$$ 其中 $\lambda$ 为谱参数，$\alpha_{i}, \beta_{i}$ 为物理参数。我们的研究主要集中于 $\alpha_{1}>0$ 且 $\beta_{1}<0$ 的情形，此时既不能直接应用 Hilbert 空间上的自伴算子定理，也不能直接使用 Sturm 比较结果。我们采用几何方法，利用与 Prüfer 角相关的函数来描述谱及特征函数的振荡结果。特征值的渐近结果与特征函数的分离定理的证明，则通过经典二阶微分方程工具展开。最后，我们将方程的谱结果用于研究一个简单模型中指进现象在线性注油采油过程中的线性不稳定性。