具有分布势的 Sturm-Liouville 算子的 Weyl-Titchmarsh 理论

我们系统地开发了任意区间 $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ 上奇异微分算子的 Weyl-Titchmarsh 理论，这些算子关联于相当一般的微分表达式 $$\tau f = \frac{1}{r} (- \big(p[f' + s f]\big)' + s p[f' + s f] + qf),$$ 其中系数 $p$, $q$, $r$, $s$ 为实值且在 $(a,b)$ 上 Lebesgue 可测，满足 $p\neq 0$，$r>0$ 几乎处处成立于 $(a,b)$，且 $p^{-1}$, $q$, $r$, $s \in L^1_{\text{loc}}((a,b); dx)$，并假设 $f$ 满足 [f \in AC_{\text{loc}}((a,b)), \; p[f' + s f] \in AC_{\text{loc}}((a,b)).] 特别地，此设定意味着 $\tau$ 允许分布势系数，包括 $H^{-1}_{\text{loc}}((a,b))$ 中的势。我们研究了极大和极小 Sturm-Liouville 算子、极大算子 $T_{\text{max}}$ 的所有自伴限制（或等价地，极小算子 $T_{\text{min}}$ 的所有自伴延拓）、所有自伴边界条件（分离的和耦合的），并描述了 $T_{\text{min}}$ 任何自伴延拓的预解式。此外，我们刻画了本文的主要对象，即对应于任何具有分离边界条件的自伴延拓的奇异 Weyl-Titchmarsh-Kodaira $m$-函数，并导出了相应的谱变换，包括对谱重数和谱标准子集的最小支集的刻画。我们还处理了主解并刻画了 $T_{\text{min}}$ 的 Friedrichs 延拓。最后，在 $\tau$ 正则的特殊情况下，我们刻画了 $T_{\text{min}}$ 的 Krein-von Neumann 延拓，并刻画了所有导致保正（等价地，改善）预解式（从而半群）的边界条件。