具分布势的 Sturm-Liouville 算子的逆谱理论

我们讨论任意区间 $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ 上与相当一般的微分表达式 $$\tau f = \frac{1}{r} \left(- \big(p[f' + s f]\big)' + s p[f' + s f] + qf\right),$$ 相关的奇异微分算子的逆谱理论，其中系数 $p$, $q$, $r$, $s$ 在 $(a,b)$ 上 Lebesgue 可测，且 $p^{-1}$, $q$, $r$, $s \in L^1_{\text{loc}}((a,b); dx)$ 并为实值，同时在 $(a,b)$ 上几乎处处满足 $p\not=0$ 和 $r>0$。特别地，我们明确允许某些分布势系数。本文推导的逆谱理论结果包括由谱测度、双谱和三谱所蕴含的结果，以及局部的 Borg-Marchenko 型逆谱结果。特别分离出了具分布势的 Schr"odinger 算子和阻抗形式的 Sturm--Liouville 算子的特例。