不定 Sturm-Liouville 算子的相似性问题与 HELP 不等式

我们研究两个问题。第一个是不定 Sturm-Liouville 算子 $$A=-(\sgn\, x)\frac{d}{wdx}\frac{d}{rdx}$$ 在 $L^2_{w}(-b,b)$ 中的相似性问题。假设 $w,r\in L^1_{\loc}(-b,b)$ 为偶函数且在 $(-b,b)$ 上几乎处处为正。第二个对象是所谓的 HELP 不等式 $$(\int_{0}^b\frac{1}{\tilde{r}}|f'|\, dx)^2 \le K^2 \int_{0}^b|f|^2\tilde{w}\,dx\int_{0}^b\Big|\frac{1}{\tilde{w}}\big(\frac{1}{\tilde{r}}f'\big)'\Big|^2\tilde{w}\, dx,$$ 其中系数 $\tilde{w},\tilde{r}\in L^1_{\loc}[0,b)$ 在 $(0,b)$ 上几乎处处为正。当相应的 Sturm-Liouville 微分表达式为正则时，这两个问题已得到充分理解。本文的主要目标是在奇异情形下，给出 HELP 不等式成立以及与自伴算子相似的判据。具体而言，我们建立了新的判据，其表述依赖于相应的 Weyl-Titchmarsh $m$-函数在 0 点和 $\infty$ 点的渐近行为。作为该结果的副产品，我们证明了这两个问题密切相关：即算子 $A$ 相似于一个自伴算子，当且仅当取 $\tilde{w}=r$ 和 $\tilde{r}=w$ 时的 HELP 不等式成立。接下来，我们用系数刻画 $m$-函数的行为，进而利用这些结果将所得判据改写为关于系数的形式。最后，我们将这些结果应用于双向扩散方程（也称为稳态 Fokker-Planck 方程）的研究。