具有奇异势的 Hill 算子 Riesz 投影的 Bari-Markus 性质

对于具有 $H^{-1}$ 周期势的 Hill 算子 $L y = - y^{\prime \prime} + v(x) y, x \in [0,\pi]$，在考虑周期、反周期或 Dirichlet 边界条件时，其具有离散谱；因此，对于充分大的 $N$，Riesz 投影 $$P_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{C_n} (z-L)^{-1} dz, \quad C_n=\{z: |z-n^2|= n\}$$ 是良定义的。本文证明了 $$\sum_{n>N} \|P_n - P_n^0\|^2_{HS} < \infty,$$ 其中 $P_n^0$ 是自由算子的 Riesz 投影，$\|\cdot\|_{HS}$ 是 Hilbert--Schmidt 范数。