具有两项指数势的 Hill 算子谱分解的发散性

我们考虑 Hill 算子 $$Ly = - y^{\prime \prime} + v(x)y, \quad 0 \leq x \leq \pi,$$ 其受周期性或反周期性边界条件 ($bc$) 约束，势函数形式为 $$v(x) = a e^{-2irx} + b e^{2isx}, \quad a, b \neq 0, r,s \in \mathbb{N}, r\neq s.$$ 研究表明，若边界条件为周期性，或者边界条件为反周期性且 $r, s$ 为奇数，或 $r=1$ 且 $s \geq 3$，则其根函数系在 $L^2 ([0,\pi], \mathbb{C})$ 中不构成基。