关于恢复含时滞 Sturm-Liouville 型算子的一个开放问题

近年来，常时滞泛函微分算子的逆谱理论引起了相当多的关注。特别地，众所周知，由同一个泛函微分表达式 $-y''(x)+q(x)y(x-a)$ 在边界条件 $y(0)=y^{(j)}(\pi)=0$ 下生成的两个算子 $\ell_j,$ $j=0,1,$ 的谱的给定，只要 $a\in[\pi/2,\pi)$，就能唯一确定在 $(0,a)$ 上为零的复值平方可积势 $q(x)$。多年来，当 $a\in(0,\pi/2)$ 时该唯一性结果是否仍然成立一直是一个颇具挑战的{\it 开放问题}。最近，对 $a\in[2\pi/5,\pi/2)$ 的情形得到了肯定回答。然而，本文通过构造一族无穷的等双谱势，对 $a\in[\pi/3,2\pi/5)$ 的情形给出了该问题的{\it 否定}回答。文中还讨论了针对其他类型边界条件构造类似反例的可能性，并提出了新的开放问题。