刚性诺伊曼问题：渐近特性与“接吻”区域

我们研究光滑有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 中拉普拉斯算子的刚性谱诺伊曼问题，该区域分为两个子域：环形域 $\Omega_1$ 与核 $\Omega_0$。在 $\Omega_0$ 中密度与刚度常数分别为 $\varepsilon^{-2m}$ 与 $\varepsilon^{-1}$ 阶，而在 $\Omega_1$ 中为 $1$ 阶。此处 $m\in\mathbb{R}$ 固定且 $\varepsilon>0$ 很小。我们对任意 $m$ 给出了当 $\varepsilon \to 0$ 时特征值与相应特征函数的渐近式。在二维情形，考虑了 $\Omega_0$ 接触外边界 $\partial\Omega$ 且 $\Omega_1$ 在点 $\mathcal{O}$ 处形成两个尖点的情形。能够应用与“光滑”情形相同的渐近过程基于不规则部分附近特征函数的结构。给出了尖点域中拉普拉斯算子混合边值问题解在 $x\to\mathcal{O}$ 时的完整渐近级数。