质量集中于边界附近的振动薄膜：渐近分析

我们考虑在 $\mathbb R^2$ 的光滑有界区域 $\Omega$ 中的谱问题 \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta u_{\varepsilon}=\lambda(\varepsilon)\rho_{\varepsilon}u_{\varepsilon} & {\rm in}\ \Omega\\ \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial\nu}=0 & {\rm on}\ \partial\Omega \end{array}\right. \end{equation*}。第一方程中出现的因子 $\rho_{\varepsilon}$ 起到质量密度的角色，在边界的 $\varepsilon$ 邻域内等于 $\varepsilon^{-1}$ 量级的常数，在 $\Omega$ 的其余部分等于 $\varepsilon$ 量级的常数。我们研究了当 $\varepsilon$ 趋于零时特征值 $\lambda(\varepsilon)$ 和特征函数 $u_{\varepsilon}$ 的渐近行为。通过利用某些辅助边值问题的解，我们得到了相应渐近展开的第一项和第二项的显式公式。