黏弹性弯曲壳模型的渐近分析

我们考虑一族厚度为 $2\varepsilon$ 的线性黏弹性壳，其侧面的部分被夹紧，所有壳具有相同的中面 $S=\mathbf{\theta}(\bar{\omega})\subset\mathbb{R}^3$，其中 $\omega\subset\mathbb{R}^2$ 是一个具有 Lipschitz 连续边界 $\gamma$ 的有界连通开集。我们证明，若施加的体积力密度为关于 $\varepsilon$ 的 $O(\varepsilon^2)$、表面牵引力密度为 $O(\varepsilon^3)$，则定义在固定区域 $\Omega=\omega\times(-1,1)$ 上的曲线坐标下缩放变分问题 $\mathbf{u}(\varepsilon)$ 的解，当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时在 $H^1(0,T;[H^1(\Omega)]^3)$ 中收敛到极限 $\mathbf{u}$。此外，我们证明该极限与横向变量无关。进而，平均值 $\bar{\mathbf{u}}= \frac1{2}\int_{-1}^{1}\mathbf{u} dx_3$ 属于空间 $H^{1}(0,T; V_F(\omega))$，其中 $$V_F(\omega):= \{ \mathbf{\eta}=(\eta_i)\in H^1(\omega)\times H^1(\omega)\times H^2(\omega) ; \eta_i=\partial_\nu \eta_3=0 \ \textrm{on} \ \gamma_0, \gamma_{\alpha \beta}(\mathbf{\eta})=0 \textrm{ in } \omega \},$$ 满足我们已识别为黏弹性弯曲壳的（缩放）二维方程，其包含考虑先前变形的长期记忆项。我们最后给出证明这些方程合理的收敛结果。