高对比度弹性复合材料中应力集中的渐近性态

材料科学中一个长期的研究领域是对具有密集排布夹杂且其材料属性不同于背景介质的复合材料中的静电场、磁场和弹性场的研究。对于一般椭圆系统，当系数分段 H"{o}lder 连续且一致有界时，Li 和 Nirenberg \cite{ln} 获得了梯度的与 $\varepsilon$ 无关的界，其中 $\varepsilon$ 表示界面间的距离。然而，在高对比度复合材料中，当 $\varepsilon$ 趋于零时，应力总是在狭窄区域中集中。作为对 Li 和 Nirenberg 一致有界性结果的对照，为探究 $\varepsilon$ 在此类集中现象中的作用，本文建立了二维和三维中具有部分无穷系数的 Lam\'{e} 系统解梯度的爆破渐近表达式。我们发现了应力爆破率与相邻曲面相对凸性之间的关系，并找到了关于边界数据的一族爆破因子矩阵。因此，本工作完全解决了 Babu\u{s}ka 关于高对比度复合介质中应力集中爆破分析的问题。此外，作为这些局部分析的副产品，我们建立了关于具有密集排布纤维的周期复合材料整体有效弹性性质的扩展 Flaherty-Keller 公式，该公式与纤维形状优化中的“Vigdergauz 微结构”相关。