具有奇异振荡外力的粘弹性方程的平均化

给定 $\rho\in[0,1]$，我们针对 $\varepsilon\in(0,1]$ 考虑具有奇异振荡外力的非自治粘弹性方程 $$\partial_{tt} u-\kappa(0)\Delta u - \int_0^\infty \kappa'(s)\Delta u(t-s) d s +f(u)=g_{0}(t)+\varepsilon ^{-\rho }g_{1}(t/\varepsilon )$$ 以及相应的{\it 平均化}方程 $$\partial_{tt} u-\kappa(0)\Delta u - \int_0^\infty \kappa'(s)\Delta u(t-s) d s +f(u)=g_{0}(t).$$ 在对非线性和外力施加适当假设下，证明了作用于自然弱能量空间 ${\mathcal H}$ 上的相关解过程 $S_\varepsilon(t,\tau)$ 具有一致吸引子 ${\mathcal A}^\varepsilon$。在进一步假设 $\rho<1$ 下，族 ${\mathcal A}^\varepsilon$ 在 ${\mathcal H}$ 中有界，且关于 $\varepsilon\in[0,1]$ 一致。此外，还建立了当 $\varepsilon\to 0$ 时吸引子 ${\mathcal A}^\varepsilon$ 收敛于平均化方程的吸引子 ${\mathcal A}^0$。