Hamilton-Jacobi 方程变分解的随机齐次化

设 $(\Omega, \mu)$ 为赋予遍历作用 $\tau$ 的概率空间（$( {\mathbb R} ^n, +)$ 的作用）。令 $H(x,p; \omega)=H_\omega(x,p)$ 为 $T^* {\mathbb R} ^n$ 上由 $\omega\in \Omega$ 参数化的光滑哈密顿量，且满足 $H(a+x,p;\tau_a\omega)=H(x,p;\omega)$。对初值条件 $f\in C^0 ( {\mathbb R}^n)$，考虑随机 Hamilton-Jacobi 方程变分解的族 $$\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial u^{ \varepsilon }}{\partial t}(t,x;\omega)+H\left (\frac{x}{ \varepsilon } , \frac{\partial u^\varepsilon }{\partial x}(t,x;\omega);\omega \right )=0 &\\ u^\varepsilon (0,x;\omega)=f(x)& \end{aligned} \right .$$ 在对 $p$ 的某些强制性假设下——但无任何凸性假设——我们证明对几乎处处的 $\omega \in \Omega$ 有 $C^0-\lim u^{\varepsilon}(t,x;\omega)=v(t,x)$，其中 $v$ 为齐次化方程的变分解 $$\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial t}(x)+{\overline H}\left (\frac{\partial v }{\partial x}(x) \right )=0 &\\ v (0,x)=f(x)& \end{aligned} \right .$$