随机均质化：Riemann 流形上Hamilton-Jacobi方程

本文在Riemann 流形 $M$ 上的第一阶Hamilton-Jacobi方程中建立了随机均质化结果，基于固定 ergodic 随机环境的背景。该设置涉及一个有限生成的阿贝尔群 $\mathtt{G}$ ，其在 $M$ 上通过保距变换以自由、完全不连续且共紧的方式作用，以及一个参数化于概率空间 $(\Omega, \mathbb{P})$ 上的哈密顿函数族 $H: T^*M \times \Omega \to \mathbb{R}$ ，其关于 $\mathtt{G}$ 在 $\Omega$ 上的 $\mathbb{P}$-ergodic作用具有平稳性。 在标准假设（包括动量变量上的严格凸性和 coercivity）下，我们证明当缩放参数 $\varepsilon$ 趋于0时，经过尺度变换后的黏性解几乎必然且在局部一致收敛于在 $\mathbb{R}^b$ 上求解的确定性均质化Hamilton-Jacobi方程，其对应于群 $\mathtt{G}$ 的渐近锥。特别地，这种方法阐明了极限问题、极限空间与作用群复杂度之间的关系。经典的周期情况对应于随机集合 $\Omega$ 简化为单例；本文还描述了其他有趣的示例。我们指出，有效哈密顿函数 $\overline{H}$ 是有效拉格朗日函数 $\overline{L}$ 的凸共轭，即将Mather的 $\beta$-函数推广到随机情形；这标志着发展随机ergodic Aubry-Mather理论的第一步。作为几何应用，本文引入了用于描述 stationary ergodic 随机度量族在 $M$ 上的稳定范数概念，推广了闭流形上经典的 Federer-Gromov 稳定范数。