光滑域的 $\mathcal{C}^1$ 扰动下吸引子的连续性

我们考虑一类具有非线性边界条件的半线性抛物问题族 $$\left\{ \begin{aligned} u_t(x,t) &=\Delta u(x,t) -au(x,t) + f(u(x,t)),\ x \in \Omega_\epsilon \mbox{ 且 } t>0\,,\\ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial N}(x,t) &=g(u(x,t)),\ x \in \partial\Omega_\epsilon \mbox{ 且 } t>0\,, \end{aligned} \right.$$ 其中 $\Omega_0 \subset \mathbb{R}^n$ 是一个光滑（至少 $\mathcal{C}^2$）区域，$\Omega_{\epsilon} = h_{\epsilon}(\Omega_0)$ 且 $h_{\epsilon}$ 是在 $\mathcal{C}^1$ 范数下收敛到恒等映射的微分同胚族。假设非线性项满足适当的正则性与耗散条件，我们证明该问题在充分小的 $\epsilon>0$ 时在合适的分数阶空间尺度上适定，相关联的半群具有全局吸引子 $\mathcal{A}_{\epsilon}$，且族 $\{\mathcal{A}_{\epsilon}\}$ 在 $\epsilon = 0$ 处连续。