$\mathbb{S}^1$ 等距抛物方程式全吸引子的分类：综述

本文综述了由标量半线性抛物方程生成的半流动的全球动力学，这些方程在 $x\in \mathbb{S}^1=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ 上的空间平移下具有 $\mathbb{SO}(2)$ 等距性，即 $$u_t = u_{xx} + f(u,u_x), \qquad x\in \mathbb{S}^1.$$ 对于耗散的 $C^2$ 非线性 $f$，半流动具有紧致的全局吸引子 $\mathcal{A}=\mathcal{A}^\mathcal{P}$，我们称之为 Sturm 吸引子。Sturm 吸引子 $\mathcal{A}^\mathcal{P}$ 可分解为 $$\mathcal{A}^\mathcal{P}=\mathcal{E}\cup\mathcal{F}^\mathcal{P}\cup\mathcal{R}^\mathcal{P}\cup\mathcal{H}^\mathcal{P},$$ 其中 $\mathcal{H}^\mathcal{P}$ 表示位于不同空间均匀平衡点 $\mathcal{E}$ 之间的异质轨道，刚性旋转波 $\mathcal{R}^\mathcal{P}$ 以及其非旋转对应项冻结波 $\mathcal{F}^\mathcal{P}$。因此，我们用其连接图 $\mathcal{C}^\mathcal{P}$ 表示 $\mathcal{A}^\mathcal{P}$，其中顶点位于 $\mathcal{E},\mathcal{F}^\mathcal{P},\mathcal{R}^\mathcal{P}$，边为 $\mathcal{H}^\mathcal{P}$。在 mild 超 hyperbolicity 假设下，指向图 $\mathcal{C}^\mathcal{P}$ 为有限且致密的。为说明，我们枚举了最多七个顶点的全部 21 条连接图 $\mathcal{C}^\mathcal{P}$。该结果基于与可积稳态 ODE 的稳态图谱映射相关的脉冲签名。作为示例，我们在 PDE 语境下冻结并重构已知的延迟微分方程中的 Vas tulip 吸引子的连接图。