蜿蜒曲线、零数与 Sturm 全局吸引子的胞腔结构

我们研究由形如 $u_t = u_{xx} + f(x,u,u_x), 0<x<1$ 且满足 Neumann 边界条件的半线性偏抛物微分方程生成的半流之全局吸引子 $\mathcal{A}=\mathcal{A}_f$。半流的平衡点 $v\in\mathcal{E}\subset\mathcal{A}$ 为该 PDE 的驻定解，因此是相应二阶 ODE 边值问题的解。假设所有平衡点均为双曲的，将 $\mathcal{A}$ 按平衡点的不稳定流形进行动态分解，给出了 Sturm 全局吸引子 $\mathcal{A}$ 作为有限正则带号 CW-复形（即 Sturm 复形，其胞腔由平衡点的不稳定流形给出）的几何与拓扑刻画。同时，由 ODE 边值问题通过对平衡点在边界 $x=0,1$ 处的值分别排序而导出的置换 $\sigma=\sigma_f$ 完全确定了 Sturm 全局吸引子 $\mathcal{A}$。等价地，我们使用与平面曲线——蜿蜒曲线 $\mathcal{M}=\mathcal{M}_f$ 相关联的 ODE 边值问题（通过打靶法得到）。本文的主要目标是推导一个极小极大性质，该性质基于 ODE 边值问题解的 Sturm 节点性质，直接从置换 $\sigma$（Sturm 置换）或等价地从蜿蜒曲线 $\mathcal{M}$（Sturm 蜿蜒曲线）识别出 $\mathcal{O}$ 的胞腔边界上在边界 $x=0,1$ 处离 $\mathcal{O}$ 最近或最远的平衡点。我们通过将其应用于一个例子来强调该结果的局部性，其中 $\mathcal{O}$ 胞腔边界上平衡点的识别仅由 Sturm 蜿蜒曲线 $\mathcal{M}$ 的一段信息获得。