Sturm 3-球全局吸引子 1：Thom-Smale复形与蜿蜒曲线

这是三篇论文中的第一篇，关于由单个闭3-球组成的全局Sturm吸引子的几何与组合刻画。基础的标量PDE是抛物型的，$$u_t = u_{xx} + f(x,u,u_x)\,,$$在单位区间$0 < x<1$上具有Neumann边界条件。平衡点假设为双曲的。在几何上，我们研究由此产生的Thom-Smale动力复形，其胞腔由平衡点的不稳定流形定义。Thom-Smale复形结果是一个正则胞腔复形。我们的几何描述涉及1-骨架的双向极性定向、由两条极经线对边界2-球的半球分解，以及某些2-胞腔面在相对半球中的经线重叠。组合描述采用Sturm置换的形式，即平衡ODE边值问题的射击曲线的蜿蜒性质。它涉及在Neumann边界$x=0$和$x=1$处极端的二维不稳定平衡点的相对位置，以及射击蜿蜒中极蛇的重叠延伸。在本文中我们展示蕴含关系 $$\text{Sturm吸引子}\quad \Longrightarrow \quad \text{Thom-Smale复形} \quad \Longrightarrow \quad \text{蜿蜒曲线}\,.$$ 续篇第2部分通过蕴含 $$\text{蜿蜒曲线} \quad \Longrightarrow \quad \text{Sturm吸引子}$$ 闭合等价循环。许多显式例子将在第3部分讨论。本3-球三部曲扩展了我们之前关于平面Sturm全局吸引子的三部曲，朝着仍难以捉摸的目标：任意维所有Sturm全局吸引子的几何与组合刻画。