2-桥链环补集的 Thurston 范数

Thurston 范数是紧致可定向 3 维流形第二实 homology 群上的半范数。其范数单位球是凸多面体，其形状数据（例如顶点数、规则性）衡量了嵌入该 3 维流形中的表面的复杂性。不幸的是，Thurston 范数通常计算相当困难，长期以来一个问题是理解哪些多面体可实现为 3 维流形 Thurston 范数的单位球。我们证明，当 $M$ 为含有组成部分 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 的 $2$-桥链环的补集时，$M$ 的 Thurston 球至多有 8 个面。该结果的证明严重依赖于 Floyd 和 Hatcher 给出的 $2$-桥链环补集中必需表面的描述。然后，我们展示了 $H_2(M,\partial M)$ 的积分类所对应的范数最小代表，并用于比较 Thurston 球的复杂性与链环 $L$ 及其补集 $M$ 的复杂性。作为一个例子，我们表明如果且仅当 $M$ 关于 $\ell_1$ 的纬度为边界的纤维化为以 $\ell_1$ 的纬度和 $\ell_2$ 的某些邻合为纤维时，Thurston 球的所有顶点都位于其平分线上。最后，我们使用 $2$-桥链环在卫星构造中，找到其补集在 $S^3$ 中的 $2$ 组成分链环，其 Thurston 球具有任意数量的顶点。