黎曼曲面与三维流形的几何化

大约十年前，Thurston 证明了大量三维流形承载常负曲率度量。这些流形因此是{\em 双曲几何}中的元素，如同欧几里得正多面体一样自然。对闭流形，Mostow 刚性保证双曲结构存在时唯一，因而拓扑与几何在三维和谐地交织。这一卓越定理适用于所有三维流形，它们可由三维球以归纳方式构造，即{\em Haken}流形。Thurston 对双曲结构的构造也是归纳的。在归纳步骤中，必须在一个开三维流形上找到合适的几何，使其端部可被黏合。利用拟共形形变，黏合问题可表述为从 Teichmüller 空间到自身的映射的不动点问题。Thurston 提议通过{\em 迭代}此映射来寻找不动点。此处我们概述 Thurston 的构造并勾勒该迭代收敛的一个新证明。我们的论证基于一个完全属于黎曼曲面理论的结果：一个极值拟共形映射在提升到足够大的覆盖空间（例如万有覆盖）时可被松弛（同伦形变到膨胀更小的映射）。这一收缩给出了 Thurston 迭代收缩的直接估计。