一类3-流形的双曲化与几何分解

Thurston的三角剖分猜想断言，每个双曲3-流形都允许被几何三角剖分为超理想双曲四面体。迄今为止，该猜想仅对少数特殊的3-流形得到了证明。在本文中，我们对一类3-流形证实了这一猜想。具体而言，设 $M$ 为带边界的定向紧3-流形，其任何连通分量均不为2-球面，且 $\mathcal{T}$ 为 $M$ 的理想三角剖分。如果 $\mathcal{T}$ 满足适当粘合条件，并且每条理想边的价至少为6，每条超理想边的价至少为11，则 $M$ 允许唯一的具有全测地边界的完备双曲度量，使得 $\mathcal{T}$ 同痕于 $M$ 的几何理想三角剖分。我们使用组合Ricci流（CRF，缩写）等分析工具来推导结论。处理CRF存在内在困难。首先，CRF可能在有限时间内坍缩；其次，由于 $\mathcal{T}$ 中没有局部坐标，大多数光滑曲率流方法不再适用；第三，CRF的演化除了受拓扑影响外，还受到某些组合障碍的影响。为此，我们引入了“扩展CRF”、“四面体比较原理”和“用边价控制CRF”等思想来解决上述困难。此外，环面边界的存在给本文增加了实质性的困难，我们通过在 $\mathcal{T}$ 上引入适当粘合条件并将ECRF简化为相对容易处理的流来解决这一问题。