圆盘离散均匀化的欧几里得表述

Thurston 的圆填充对黎曼映射的逼近（Rodin-Sullivan 证明其在极限下给出黎曼映射）主要基于这样一个定理：任何具有圆填充度量的拓扑圆盘都可以形变为圆盘内的圆填充度量，且边界圆内切于该圆。均匀化的主要证明使用了双曲体积（Andreev）或双曲圆填充（Beardon 和 Stephenson）。我们将这些问题重新表述为欧几里得背景，从而允许更一般的离散共形结构和边界条件。主要思想是用一个双重覆盖的圆盘来替代原圆盘，其中一侧被强制为圆形，另一侧被强制内部曲率为零。整个问题被简化为寻找零曲率结构。我们还表明，这些曲率自然地作为广义流形（具有重数的流形）上的曲率测度出现，扩展了曲面上通常的离散 Lipschitz-Killing 曲率。