停放3球泳者。I. 能量最小化划水

本文研究停放3球泳者（$\text{sPr}_3$）。这是一个低雷诺数模型泳者，由三个等半径的球组成。这三个球可沿三条水平轴（支撑在同一平面内）移动，三轴以120°角交汇于$\text{sPr}_3$的中心。文中引入了控制动力学系统，并揭示了其几何对称性的影响。随后证明，在小划水的一阶范围内，最优周期划水是嵌入三维空间中的椭圆，即对于合适的正交向量$u$和$v$（属于$\mathbb{R}^3$），形式为$t\in [0,2\pi] \mapsto (\cos t)u + (\sin t)v$的闭合曲线。推导出了向量$u$和$v$的一个简单解析表达式。本文的结果将在第二篇文章中用于分析$\text{sPr}_3$在极长臂渐近范围内的真实物理动力学。