Sturm 全局吸引子的有符号 Thom-Smale 复形的边界序与几何

我们对标量抛物型 PDE \begin{equation}\label{eq:*} u_t = u_{xx} + f(x,u,u_x) \tag{$*$} \end{equation} 在单位区间 $0 < x<1$ 上具 Neumann 边界条件的组合与几何方面之间的紧密关系展开详细分析。我们假设 $f$ 是耗散的，具有 $N$ 个双曲平衡点 $v\in\mathcal{E}$。方程 \eqref{eq:*} 的全局吸引子 $\mathcal{A}$，亦称 \emph{Sturm 全局吸引子}，由所有平衡点 $v$ 的不稳定流形组成。作为胞腔，这些形成 \emph{Thom-Smale 复形} $\mathcal{C}$。基于 $v$ 的快速不稳定流形，我们引入正则胞腔复形 $\mathcal{C}$ 的一个加细 $\mathcal{C}^s$，称之为 \emph{有符号 Thom-Smale 复形}。给定有符号胞腔复形 $\mathcal{C}^s$ 及其底层偏序，我们仅由此导出两个 Neumann 边界 $\iota=x=0,1$ 处平衡值 $v(x)$ 的两个全边界序 $h_\iota:\{1,\ldots , N\}\rightarrow\mathcal{E}$。在先前工作中，我们已经建立了由此得到的 Sturm 置换 $$\sigma:=h_{0}^{-1} \circ h_1,$$ 反过来如何唯一确定全局吸引子 $\mathcal{A}$（在拓扑共轭意义下）。