Sturm 3-ball 全局吸引子 3：Thom-Smale 复形的实例

本文作为关于由单个闭 3-球构成的全局 Sturm 吸引子 $\mathcal{A}$ 的几何与组合刻画三部曲的终篇，提供了具体实例。其基础标量偏微分方程为抛物型方程 $$u_t = u_{xx} + f(x,u,u_x)\,,$$ 定义在单位区间 $0 < x<1$ 上并带有 Neumann 边界条件。假设平衡点 $v_t=0$ 是双曲的。在几何上，我们研究了由此产生的 Thom-Smale 动力复形，其胞腔由平衡点的快不稳定流形定义。结果表明，该 Thom-Smale 复形是一个正则胞腔复形。在前两篇论文中，我们将 3-球 Sturm 吸引子 $\mathcal{A}$ 刻画为 3-胞腔模板 $\mathcal{C}$。该刻画涉及双极定向和半球分解，它们与快不稳定流形的几何结构密切相关。等价的组合描述是通过 Sturm 置换给出的，即平衡态常微分方程边值问题射击曲线的蜿蜒性质。它涉及在 Neumann 边界 $x=0$ 和 $x=1$ 处极端二维不稳定平衡点的相对位置，以及射击蜿蜒中极向蛇形区域的重叠覆盖范围。在本文中，我们应用这些描述，明确枚举了所有具有不超过 13 个平衡点的 3-球 Sturm 吸引子 $\mathcal{A}$。我们还列出了所有可能将实心四面体、立方体和八面体作为分别具有 15 和 27 个平衡点的 3-球 Sturm 吸引子的完整清单。对于剩余的柏拉图式 3-球（二十面体和十二面体），我们指出了将其简化为纯平面考量的方法，正如我们在之前关于平面 Sturm 吸引子的三部曲中所讨论的那样。