Sturm 3-球全局吸引子 2:Thom-Smale 复形的设计

这是关于由单个闭 3-球组成的全局 Sturm 吸引子的几何与组合表征的三篇论文中的第二篇。底层标量 PDE 是抛物型的,$$u_t = u_{xx} + f(x,u,u_x)\,,$$定义在区间 $0 < x<1$ 上,具有 Neumann 边界条件。平衡点假设为双曲的。\\ \newline 在几何上,我们研究由此产生的 Thom-Smale 动力复形,其胞腔由平衡点的快速不稳定流形定义。Thom-Smale 复形结果是一个正则胞腔复形。我们的几何描述涉及 1-骨架的双向极化定向、由两条极经线对边界 2-球进行的半球分解,以及某些位于相对半球的 2-胞腔面的经线重叠。\\ \newline 组合描述通过 Sturm 置换给出,即平衡 ODE 边值问题的射击曲线的蜿蜒(meander)性质。\\ \newline 在第一篇论文中,我们展示了蕴涵关系 $$\text{Sturm 吸引子}\quad \Longrightarrow \quad \text{Thom-Smale 复形} \quad \Longrightarrow \quad \text{蜿蜒}\,.$$ 本第二篇通过蕴涵关系 $$\text{蜿蜒} \quad \Longrightarrow \quad \text{Sturm 吸引子}\,.$$ 闭合了等价性循环。特别地,该循环允许我们为任意满足双向极化定向和半球分解几何性质的给定 Thom-Smale 复形构造唯一的 Sturm 3-球吸引子。许多显式例子和图示将在第三篇中讨论。然而,本 3-球三部曲仅仅是朝着仍难以捉摸的任意维所有 Sturm 全局吸引子的几何与组合表征迈出的又一步。