关于横向弯曲浅壳的两个一维模型推导：一个导致松弛

我们研究了宽度为 $\varepsilon$ 的平面浅横向弯曲薄壳的变分问题序列的 $\Gamma$ 极限。该能量在合适的边界条件下为von K\'arm\'an 类型。不同情形的关键在于拉伸能 $\sim \varepsilon^{2\beta}$ 的标度，其中 $\beta$ 为正数。我们推导了 $\beta \in (0, 2]$ 时的两个一维模型。值得注意的是，边界条件对于获得紧凑性至关重要。我们证明，当 $\beta \in (0, 2)$ 时，$\Gamma$ 极限导致松弛：极限膜能在压缩情形下消失。当 $\beta=2$ 时不存在松弛，极限模型在非平凡方式下将四个运动描述符进行非线性耦合。作为后者极限模型的特例，可推导出非线性 Vlasov 扭转理论和非线性 Euler-Bernoulli 梁理论。