含刚重与柔轻部分的振动系统的渐近分析

研究了一个具有刚度和质量密度同时扰动的强非均匀介质模型。该介质在两个部分具有强烈对比的物理特性，其刚度比与一个小参数 $\epsilon$ 成正比。此外，质量密度比为 $\epsilon^{-1}$ 量级。我们研究了当 $\epsilon\to 0$ 时谱和本征子空间的渐近行为。构造并证明了特征值和特征函数的完全渐近展开。我们表明，极限算子通常是非自伴的，并且尽管奇异摄动问题与适当 Hilbert 空间 $L_\epsilon$ 中的自伴算子相关联，但它仍具有二维 Jordan 块。如果问题具有自伴性的度量以奇异方式依赖于小参数 $\epsilon$，就可能发生这种情况。特别是，这会导致特征函数系完备性的丧失。我们描述了极限算子的根空间如何近似摄动算子的本征空间。