受小谐振腔扰动区域的拉普拉斯算子谱

众所周知，狄利克雷拉普拉斯算子的谱在区域的小扰动下是稳定的，而在诺伊曼或混合边界条件下谱可能发生突变。本文讨论此类区域扰动的一个例子。设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的（不一定有界的）区域。将其扰动为 $\Omega_\varepsilon=\Omega\setminus \cup_{k=1}^m S_{k,\varepsilon}$，其中 $S_{k,\varepsilon}$ 为带适当缩放小孔（“窗口”）的闭曲面，这些曲面所包围的有界区域（“谐振腔”）通过窗口与外部区域相连。当 $\varepsilon$ 趋于零时，谐振腔收缩为点。我们证明在极限 $\varepsilon\to 0$ 下，$\Omega_\varepsilon$ 上在 $S_{k,\varepsilon}$ 取诺伊曼边界条件、在外边界取狄利克雷边界条件的拉普拉斯算子谱，收敛于 $\Omega$ 上狄利克雷拉普拉斯算子谱与数 $\gamma_k$（$k=1,\dots,m$）的并集，其中 $\gamma_k$ 等于第 $k$ 个窗口的容量与第 $k$ 个谐振腔体积之比极限的 $1/4$。我们得到了关于该收敛速率在豪斯多夫型度量下的估计。此外，给出了该结果的一个应用：我们构造了一个带插入谐振腔的无界波导型区域，使得该区域上拉普拉斯算子的本征值（位于本质谱阈值以下）与给定数完全一致。