薄立方格子中 Dirichlet Laplace 算子的谱

我们描述了由具有正方形横截面的细杆（宽度为 $\varepsilon\ll1$）构成的无界三维周期格子中 Dirichlet Laplace 算子谱的下部。由于 Dirichlet 边界条件，当 $\varepsilon$ 趋于零时，该谱与所有延伸至 $+\infty$ 的线段之并相重合。我们证明第一谱段极其狭窄，长度为 $O(e^{-\delta/\varepsilon})$，其中 $\delta>0$，而后续谱段的长度为 $O(\varepsilon)$。为了确立这些结果，我们需要详细研究 Dirichlet Laplace 算子 $A^{\Omega}$ 在通过对初始周期格子的连接区域进行放大所得几何 $\Omega$ 中的性质。该问题本身亦具有研究价值，通过利用对称性、极大极小论证以及选取恰当的 Friedrichs 不等式，我们证明了 $A^{\Omega}$ 在其离散谱中具有唯一的本征值，该本征值生成了第一谱段。此外，我们证明了 $A^{\Omega}$ 不存在阈值共振，即在阈值频率下 $A^{\Omega}$ 不存在非平凡的有界解。这表明，对于后续谱段，格子的正确一维模型是在顶点处具有 Dirichlet 条件的图。我们还提供了数值计算以补充分析。