具有平行截面的波导中 Dirichlet Laplacian 的谱

设 $\Omega \subset \mathbb R^3$ 为沿一条无界空间曲线在恒定方向上平移截面所得的波导。考虑 $\Omega$ 中的 Dirichlet Laplacian 算子 $-\Delta_{\Omega}^D$。在参考曲线的切向量在无穷远处存在有限极限的条件下，我们求得 $-\Delta_{\Omega}^D$ 的本质谱。进而，我们给出使 $-\Delta_{\Omega}^D$ 具有非空离散谱的充分条件；特别地，我们证明当波导足够细时，离散本征值的个数可以任意大。