针对 $W^{-1,\infty}$ 势的泊松方程狄利克雷问题的反均匀化问题

我们考虑穿孔域上的泊松问题 $-\Delta u^\varepsilon=f$，并将 $u^\varepsilon$ 的极限刻画为域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 上带某势 $\mu\in W^{-1,\infty}(\Omega)$ 的方程 $(-\Delta+\mu)u=f$ 的解。已知当 $\mu\in L^\infty(\Omega)$ 时，$\mu$ 与孔的容量相关。本文中，对于许多 $\mu\in W^{-1,\infty}(\Omega)$，我们同样将 $\mu$ 刻画为孔容量的密度极限。我们将该结果应用于反均匀化问题，即针对给定势 $\mu\in L^d(\Omega)+L^\infty(\delta_S)$（其中 $\delta_S$ 为曲面测度）构造相应的孔。