一类障碍问题的边界齐次化

我们研究某类具有一致椭圆系数矩阵$\gamma$的椭圆方程在$C^{1,\alpha}$区域$D$上的边界障碍问题的齐次化。对任意$\epsilon\in\mathbb{R}_+$,$\partial D=\Gamma \cup \Sigma$,$\Gamma \cap \Sigma=\emptyset$且$S_{\epsilon}\subset \Sigma$满足适当假设,我们证明当$\epsilon$趋于零时,在$S_{\varepsilon}$上满足$u\geq \varphi$约束的能量极小元$u^{\epsilon}$(对应于$\int_{D} |\gamma\nabla u|^{2} dx$)沿子列在$H^{1}(D)$中弱收敛于$\widetilde{u}$,后者极小化能量泛函$\int_{D}|\gamma\nabla u|^{2}+\int_{\Sigma} (u-\varphi)^{2}_{-}\mu(x) dS_{x}$,其中$\mu(x)$依赖于$S_{\epsilon}$的结构,$\varphi$为$\overline{D}$上任意给定函数$C^{\infty}(\overline{D})$。