从障碍到空化的一则非局部单相自由边界问题

我们考虑能量 $$J_{\gamma}(u)=\frac{1}{2}\int_{(B_1^{n+1})^+}{y^{1-2s}|\nabla u(x,y)|^2dxdy}+\int_{B_1^{n}\times \{y=0\}}{u^{\gamma}dx},$$ 在常数 $0<s,\gamma<1$ 下极小化子的单相自由边界问题。它是分数阶空化问题（当 $\gamma=0$ 时）与分数阶障碍问题（当 $\gamma=1$ 时）的中间情形。我们证明在每个自由边界点附近的爆破均为次数 $\beta=\frac{2s}{2-\gamma}$ 的齐次函数，且当 $\gamma$ 接近于 0 时平坦自由边界是 $C^{1,\theta}$ 的。