积分微分算子的障碍问题：解与自由边界的正则性

我们研究阶为 $2s$ 的积分微分算子的障碍问题，其中 $s\in (0,1)$。我们的主要结果确立了在所有正则点附近自由边界是 $C^{1,\gamma}$ 且 $u\in C^{1,s}$。具体而言，我们在所有自由边界点 $x_0\in\partial\{u=\varphi\}$ 处证明如下二分性：(i) 要么 $u(x)-\varphi(x)=c\,d^{1+s}(x)+o(|x-x_0|^{1+s+\alpha})$ 对某个 $c>0$，(ii) 要么 $u(x)-\varphi(x)=o(|x-x_0|^{1+s+\alpha})$，其中 $d$ 是到接触集 $\{u=\varphi\}$ 的距离。此外，我们表明满足 (i) 的自由边界点 $x_0$ 的集合是开集，且在这些点附近自由边界是 $C^{1,\gamma}$ 且 $u\in C^{1,s}$。这些结果此前仅对分数拉普拉斯 \cite{CSS} 已知，而对于更一般的积分微分算子则是全新的。我们在此开发的方法纯是非局部的，且不依赖于算子的任何单调性型公式。基于此，我们的技术可应用于完全非线性积分微分算子的更一般情形：我们针对具有凸算子的障碍问题建立了类似的正则性结果。