自由边界的几何

对于非线性一致椭圆算子，当 $\Omega = \{\nabla u \neq 0\} \cap \{x_n>0\}$ 时，获得了自由边界与固定边界的非横截相交，从而解决了椭圆理论中的一个问题：在拉普拉斯算子情形下该问题已被完全理解，但在高维非线性情形中一直晦涩难明。同时，给出了 "Regularity of free boundaries in obstacle-type problems" \cite{MR2962060} 中所讨论问题的一个解。若解为物理的且若在绝对一般情形下 $n=2$，则自由边界在固定边界邻域内为 $C^1$。该正则性对拉普拉斯算子而言也是新的。创新之处在于通过几何构型刻画自由边界点如何收敛至固定边界，并研究自由边界点之间的间距。