带梯度约束与 tug-of-war 博弈的极限自由边界问题

本稿处理 $p-$拉普拉斯型（$2 \leq p< \infty$）椭圆自由边界问题的正则性问题及解当 $p \to \infty$ 时的渐近行为：\begin{equation*} -\Delta_p u(x) + \lambda_0(x)\chi_{\{u>0\}}(x) = 0 \quad \mbox{in} \quad \Omega \subset \mathbb{R}^N, \end{equation*} 具有给定的 Dirichlet 边界数据，其中 $\lambda_0>0$ 为有界函数且 $\Omega$ 为正则域。首先，我们证明任意解族 $(u_p)_{p\geq 2}$ 当 $p\to \infty$ 时的收敛性，并获得控制极限方程（非散度形式）的相应极限算子，$$\left\{ \begin{array}{rcrcl} \max\left\{-\Delta_{\infty} u_{\infty}, \,\, -|\nabla u_{\infty}| + \chi_{\{u_{\infty}>0\}}\right\} & = & 0 & \text{in} & \Omega \cap \{u_{\infty} \geq 0\} \\ u_{\infty} & = & g & \text{on} & \partial \Omega. \end{array} \right.$$ 接着，我们获得该极限问题解的唯一性，以及若干弱几何与测度论性质，如非退化性、一致正密度、孔隙性与自由边界的收敛性。最后，我们证明极限算子的任一解均为某一特定 tug-of-war 博弈价值函数的极限。