$p-$死核问题的正则性性质及其当 $p \to \infty$ 时的渐近极限

我们研究具有强吸收项的 $p-$Laplacian 型椭圆方程（$2 \leq p< \infty$）非负解的正则性问题及其当 $p\to\infty$ 时的极限行为：$$-\Delta_p u(x) + \lambda_0(x) u_{+}^q(x) = 0 \quad \text{ in } \quad \Omega \subset \mathbb{R}^N,$$ 其中 $\lambda_0>0$ 是有界函数，$\Omega$ 是有界区域，且 $0\leq q<p-1$。当 $p$ 固定时，该模型在数学上很有意义，因为它允许形成死核区域，即非负解恒为零的先验未知区域。首先，我们致力于建立 $p-$死核解的精确量化正则性性质。随后，假设 $\ell \:=\lim_{p \to \infty} q(p)/p \in [0, 1)$ 存在，我们证明了当 $p\to \infty$ 时极限解的存在性，并刻画了控制极限问题的相应极限算子。我们还建立了极限解沿自由边界点（即 $\partial \{u>0\} \cap \Omega$ 上的点）的精确 $C^{\gamma}$ 正则性估计，其中精确的正则性指数显式给出为 $\gamma = \frac{1}{1-\ell}$。最后，证明了一些弱几何与测度论性质，如非退化性、一致正密度、孔隙率以及自由边界的收敛性。