p-拉普拉斯算子在接近一致椭圆性时的一个正则性结果

我们考虑一类涉及 $p$-拉普拉斯算子的狄利克雷边值问题的弱解，并证明只要 $p$ 充分接近 $p_0=2$，其二阶弱导数就属于 $L^{q}$，其中 $q$ 可任意大。我们表明该现象由经典的卡尔德龙-齐格蒙德常数所驱动。作为我们分析的一个副产品，我们证明了当 $p$ 足够接近 2 时，$C^{1,\alpha}$ 正则性可提升至 $C^{1,1^-}$。我们相信这一结果在更高维 $n>2$ 时尤为有趣，因为此时最优的 $C^{1,\alpha}$ 正则性与 $p$-调和映射的最优正则性相关，而后者至今仍是开放问题。