加权拟线性椭圆方程 $p$-Laplacian 型的尖锐与改进正则性估计及其应用

在本文中，我们获得了 Hardy-Hénon 型加权拟线性椭圆模型弱解的尖锐和改进的正则性估计，其中显式正则性指数仅依赖于通用参数。我们的方法基于几何切向方法，并使用精细的振荡机制、紧致性和标度技术。在某些特定情形下，我们建立了更高的正则性估计和非退化性质，为这类解提供了进一步的几何洞察。我们的正则性估计既改进了 $p$-Laplacian 在有界源项下 $C^{p^{\prime}}$ 猜想的结果，也在一定程度上扩展了这些结果。作为我们结果的应用，我们处理了该类方程的某些 Liouville 型结果。最后，即使在具有正则系数的 $p$-Laplacian 的最简单模型情形下，我们的结果也是显著的：$$\mathrm{div}\left( |\nabla u|^{p-2}\mathfrak{A}(|x|) \nabla u\right) = |x|^{\alpha}u_+^m(x) \quad \text{in} \quad B_1$$ 在数据满足适当假设下，可能带有奇异权重 $\mathfrak{h}(|x|) = |x|^{\alpha}$，其中包括 Matukuma 和 Batt-Faltenbacher-Horst 方程作为玩具模型。