拟线性椭圆型死核问题的尖锐正则性估计及其应用

在本文中，我们研究具有强吸收条件的 $p$-Laplace 型 ($1 < p< \infty$) 拟线性椭圆方程的几何正则性估计：$$-\text{div}\,(\Phi(x, u, \nabla u)) + \lambda_0(x) u_{+}^q(x) = 0 \quad \text{in} \quad \Omega \subset \mathbb{R}^N,$$ 其中 $\Phi: \Omega \times \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$ 是具有适当 $p$-结构的向量场，$\lambda_0$ 是非负有界函数，且 $0\leq q<p-1$。该模型在数学上具有重要意义，因为它允许存在具有死核区域的解，即非负解恒为零的先验未知区域。我们沿自由边界点建立了尖锐且改进的 $C^{\gamma}$ 正则性估计，即 $\mathfrak{F}_0(u, \Omega) = \partial \{u>0\} \cap \Omega$，其中正则性指数显式给出为 $\gamma = \frac{p}{p-1-q} \gg 1$。我们证明了自由边界的一些弱几何与测度论性质，如非退化性、一致正密度和孔隙性。作为应用，在整体解在无穷远处的增长可被适当控制的前提下，建立了一个 Liouville 型结果。最后，对于特定的一类死核问题，我们得到了自由边界 $(N-1)$-Hausdorff 测度的有限性。本文所采用的方法对于由 $p$-Laplace 算子 $-\Delta_p u + \lambda_0 u^q\chi_{\{u>0\}} = 0$（$\lambda_0>0$）控制的死核问题而言也是新颖的。\newline \newline \noindent \textbf{关键词：} $p$-Laplace 型拟线性椭圆算子，改进的正则性估计，死核型自由边界问题，Liouville 型结果，Hausdorff 测度估计。