非变分奇异椭圆方程的几何方法

在这项工作中，我们发展了一种系统的几何方法来研究具有奇异吸收项的全非线性椭圆方程及其相关的自由边界问题。奇异性的大小由负参数 $(\gamma -1)$ 衡量，其中 $0 < \gamma < 1$，这反映了解在正相和零相之间的奇异界面上缺乏光滑性。我们建立了解的存在性以及尖锐的正则性性质。我们进一步证明了极小解是非退化的，并获得了自由边界 $\mathfrak{F} = \partial \{u > 0 \}$ 的精细几何测度性质。特别是，我们展示了尖锐的 Hausdorff 估计，这意味着区域 $\{u > 0 \}$ 的周长局部有限，且 $\mathfrak{F}$ 具有 $\mathcal{H}^{n-1}$ 几乎处处的弱可微性。