具可测系数的次临界 $p$-抛物系统的正则性理论

针对具有可测系数的 $p$-Laplacian 的抛物系统 $$\partial_t u-\mathrm{div}\,{\boldsymbol{\mathsf A}}(x,t,Du)=0 \quad\text{in }E_T\subset \mathbb{R}^N\times\mathbb{R},$$ 我们发展了其弱解的定量正则性理论。我们聚焦于次临界范围 $1<p\le \tfrac{2N}{N+2}$ 并得到两个主要结果。\emph{局部有界性：} 从 $u$ 的 $L^{\boldsymbol{\mathsf r}}$-控制出发（其中 ${\boldsymbol{\mathsf r}}>\frac{N(2-p)}{p}$），我们导出尖锐的、尺度不变的 $L^\infty$-估计。\emph{梯度的高阶可积性：} $|Du|$ 从 $L^p_{\mathrm{loc}}$ 自改善到 $L^{p(1+\varepsilon)}_{\mathrm{loc}}$，其中某个 $\varepsilon>0$ 仅依赖于数据。在给定适当源项的情况下，同样的结果依然成立。