分数阶非局部抛物方程与主方程的正则性理论及延拓问题

我们发展了由热算子分数幂驱动的时空非局部方程解的正则性理论：$$(\partial_t-\Delta)^su(t,x)=f(t,x),\quad\hbox{for}~0<s<1.$$该在时间上为 $s$ 阶、在空间上为 $2s$ 阶的非局部方程出现于非线性弹性力学、半透膜、连续时间随机游走和数学生物学中。对于时空非局部方程（如广义主方程），它所起的作用与分数阶拉普拉斯算子对于空间非局部方程所起的作用相同。我们得到了 $(\partial_t-\Delta)^su(t,x)$ 的逐点积分微分公式和抛物极值原理。证明了一个新的延拓问题，将该非局部方程用一个局部退化抛物方程来刻画。我们证明了抛物内部和边界 Harnack 不等式，以及 Almgrem 型单调性公式。利用抛物 H"older 空间的新刻画，推导出了时空泊松问题的 H"older 和 Schauder 估计。我们的方法涉及半群的抛物语言和 Cauchy 积分定理，这些方法在定义 $\partial_t-\Delta$ 的分数幂时是原创的。尽管我们主要关注方程 $(\partial_t-\Delta)^su=f$，但也强调了我们的思想在变系数、离散拉普拉斯算子和黎曼流形上的应用。