非局部离散扩散方程与分数阶离散拉普拉斯算子：正则性及其应用

本文对网格尺寸为 $h>0$ 的离散拉普拉斯算子的分数次幂驱动的非局部离散方程 $(-\Delta_h)^su=f$（其中 $u,f:\mathbb{Z}_h\to\mathbb{R}$，$0<s<1$）进行了分析。得到了 $(-\Delta_h)^su$ 的点态非局部公式以及离散 $s$-调和函数的非局部离散均值性质。我们观察到，将 $(-\Delta_h)^s$ 刻画为一个半离散退化椭圆局部扩张问题的 Dirichlet-to-Neumann 算子是有效的。证明了离散 Hölder 空间中的正则性性质和 Schauder 估计，以及非局部 Dirichlet 问题解的存在唯一性。对于后者，证明了分数阶离散 Sobolev 嵌入和分数阶离散 Poincaré 不等式，这些结果具有独立的研究价值。我们引入了负幂次（基本解）$u=(-\Delta_h)^{-s}f$，它可以被视为半离散扩张问题的 Neumann-to-Dirichlet 映射。随后证明了 $(-\Delta_h)^{-s}$ 的离散 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式。作为应用，分析了当 $h\to0$ 时，我们的分数阶离散拉普拉斯算子在 Hölder 空间中向（连续）分数阶拉普拉斯算子的收敛性。事实上，在极小的正则性假设下，得到了以 $h$ 表示的逼近误差的一致估计。最后，我们证明了 $\mathbb{R}$ 中分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^sU=F$ 的 Poisson 问题的解，可以用我们的分数阶离散拉普拉斯算子的 Dirichlet 问题的解来逼近，并给出了以 $h$ 表示的显式一致误差估计。